Familles de vecteurs

Preuve Soit (E,+, •) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble fini. Une famille (ui)i∈I ∈ E d’éléments de E. — (⇒) Si (ui)i∈I est libre. I est un sous-ensemble fini de I. Puis par la définition 1.1, pour tout toute famille de scalaires (λi)i∈I , on a : ∑ i∈I λi •ui = 0E ⇔ ∀i ∈ I, λj = 0. — (⇐) On suppose que pour tout toute famille de scalaires (λi)i∈I , on a : ∑ i∈I λi • ui = 0E ⇔ ∀i ∈ I, λj = 0. Soit J un sous ensemble fini de I. Soit (λj)j∈J ∈ K une famille de scalaire. On pose pour i ∈ I \ J , λi = 0. On a : ∀j ∈ J, λj = 0⇔ ∀i ∈ I, λi = 0, puisque pour tout i ∈ I \ J , λi = 0. Et, par hypothèse,